Question

17．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象經(jīng)過點A（1，-1）和點B（-3，-9）．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點M坐標；
（3）點P（m，-m）與點Q均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．
（4）求△MPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，把點A、B的坐標代入解析式，解二元一次方程組，求出二次函數(shù)解析式；
（2）利用配方法把二次函數(shù)解析式的一般式寫成頂點式，求出拋物線對稱軸和頂點坐標；
（3）將點P代入函數(shù)解析式，求出m的值及點P坐標，注意m＞0的條件，利用對稱性求出點Q的坐標，進而求出點Q到x軸距離；
（4）三角形一邊PQ平行x軸，因此利用三角形面積公式可以求出三角形面積．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象經(jīng)過點A（1，-1）和點B（-3，-9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的表達式為y=x²+4x-6；

（2）∵y=x²+4x-6
=x²+4x+4-4-6
=（x+2）²-10，
∴該拋物線的對稱軸為直線x=-2，
頂點坐標為（-2，-10）；

（3）∵點P（m，-m）在函數(shù)圖象上（m＞0），
∴m²+4m-6=-m，
整理得m²+5m-6=0，
解得m₁=1，m₂=-6（舍去），
∴點P的坐標為（1，-1），
∵點P、Q關于拋物線的對稱軸x=-2對稱，
設點Q坐標為（x，-1），
∴$\frac{1+x}{2}$=-2，
∴x=-5，
∴點Q坐標為（-5，-1），
∴點Q到x軸距離為1．

（4）∵PQ∥x軸，
∴PQ=1-（-5）=6
點M到直線PQ距離h為：-1-（-10）=9
∴S_△MPQ=$\frac{1}{2}$×PQ×h，
=$\frac{1}{2}$×6×9，
=27．
答：△MPQ的面積為27．

點評 題目考查了二次函數(shù)綜合應用，涉及二次函數(shù)解析式的求解、一般式到頂點式的變形、對稱性質以及三角形面積求解，題目設計由易到難，難度適中，可以很好地考查學生的知識掌握情況．