Question

11．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．

（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數(shù)是20°；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，求∠OAC；
③當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，求∠OAC．
（2）如圖2，若AB⊥OM，且D在線段OB上，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得①∠ABO的度數(shù)；②根據(jù)∠ABO、∠BAD的度數(shù)以及△AOB的內(nèi)角和，可得x的值；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：AC在AB左側(cè)，AC在AB右側(cè)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角的度數(shù)，可得x的值．

解答 解：（1）如圖1，①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；故答案為：20°；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，∠BAD=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°×3=120°；
③當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，
∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，∠AOB=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°-20°-80°=60°，
（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=20°，∠ABO=70°，
①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí)：
若∠BAD=∠ABD=70°，則∠OAC=90°-70°=20°；          
若∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，則∠OAC=90°-55°=35°；            
若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=40°，故∠OAC=90°-40°=50°；
②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí)：
∵∠ABE=110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，
∴只有∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-110°）=35°，則∠OAC=90°+35°=125°．     
綜上所述，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，x的值為20或35或50或125．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．