Question

6．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個頂點，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（2，3），點C在x軸正半軸上．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及點C的坐標；
（2）點E為線段OC上一動點，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動．設(shè)平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
（4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．并求當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個頂點，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（2，3），可以求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)△AGF∽△AOC，可以求得OE的長，本題得以解決；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)俄三角形相似，可以分別表示出DM、MN、ND的長，然后利用分類討論的數(shù)學思想可以解答本題；
（4）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)前面求出的各邊的長度，可以表示出重疊的五邊形的面積，從而可以求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，以及t的取值范圍，當t為何值時，S有最大值，最大值是多少．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個頂點，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-\frac{1}{8}×{2}^{2}+m×2+n=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
即拋物線的解析式為：y═-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3，
∵拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個頂點，點C在x軸正半軸上，
∴將y=0代入y═-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3，得x=-4或x=6，
∴點C的坐標為（6，0）；
（2）由題意可得，如右圖一所示，
∵四邊形OEFG是正方形，
∴GF∥OC，
∴△AGF∽△AOC，
∴$\frac{AG}{AO}=\frac{GF}{OC}$，
∵點A（0，3），點C（6，0），GF=OG，設(shè)GF=a，
∴$\frac{3-a}{3}=\frac{a}{6}$，得a=2，
即OE=2；
（3）存在，如圖2
∵EF∥OA，
∴△MEC∽△AOC，
∴$\frac{ME}{AO}=\frac{CE}{CO}$，即$\frac{ME}{3}=\frac{6-2-t}{6}$，得ME=2-$\frac{t}{2}$，
在Rt△MED中，$D{M}^{2}=D{E}^{2}+M{E}^{2}={2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}$，
∵DG∥OA，
∴△CDN∽△COA，
∴$\frac{ND}{AO}=\frac{CD}{CO}$，即$\frac{ND}{3}=\frac{6-t}{6}$，得ND=3-$\frac{t}{2}$，
過M作MH⊥DG于點H，則MH=2，DH=EM=2-$\frac{t}{2}$，
∴$M{N}^{2}=M{H}^{2}+N{H}^{2}={2}^{2}+[（3-\frac{t}{2}）-（2-\frac{t}{2}）]^{2}$=5，
當DM=DN時，DM²=DN²，
即${2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}=（3-\frac{t}{2}）^{2}$，
解得，t=1；
當DN=NM時，DN²=MN²，
即$（3-\frac{t}{2}）^{2}=5$，
解得，t=6-$2\sqrt{5}$或t=6+2$\sqrt{5}$（舍去）；
當DM=MN時，DM²=MN²，
即${2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}=5$，
解得，t=2或t=6（舍去），
由上可得，當t=2或t=1或t=6-$2\sqrt{5}$時，△DMN是等腰三角形；
（4）正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，當如圖3所示，
由（3）可知，ME=2-$\frac{t}{2}$，DN=3-$\frac{t}{2}$，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點B（2，3），點C（6，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$，
設(shè)直線BC與EF交于點K，
∵OE=t+2，
∴當x=t+2時，y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$=$-\frac{3}{4}（t+2）+\frac{9}{2}$=$-\frac{3}{4}t+3$，
∴點K（t+2，$-\frac{3}{4}t+3$），
∴FK=2-（$-\frac{3}{4}t+3$）=$\frac{3}{4}t-1$，
設(shè)直線BC與GF交于點J，
∴點J的縱坐標是2，
將y=2代入y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$，得x=$\frac{10}{3}$，
∴點J的坐標為（$\frac{10}{3}$，2），
∴FJ=t+2-$\frac{10}{3}$=t-$\frac{4}{3}$，
∴S=S_{正方形DEFG}-S_△FKJ-S_梯形DEKN
=2×2-$\frac{1}{2}×（\frac{3}{4}t-1）（t-\frac{4}{3}）-$$\frac{1}{2}[（2-\frac{t}{2}）+（3-\frac{t}{2}）]×2$
=$-\frac{3}{8}{t}^{2}+2t-\frac{5}{3}$
=$-\frac{3}{8}（t-\frac{8}{3}）^{2}+1$，
作GH⊥y軸于點H，交AC于點I，由（2）知，HI=2，
又∵HJ=$\frac{10}{3}$，
∴2$＜t＜\frac{10}{3}$，
∵2＜$\frac{8}{3}＜\frac{10}{3}$，
∴當t=$\frac{8}{3}$時，S取得最大值，最大值是S=1．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目中給出的信息畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學思想解答問題，這是一道中考壓軸題，計算量較大，一定要仔細認真．