Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，且AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠DBC=60°．
求：的值．

Answer 1

解：設BD=a，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴點A，B，C，D共圓，且BD是直徑，
∴∠BDC=∠BCA，∠ACD=∠ABD，
∴△OCD∽△OBA，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴AD=BD=a，
∵∠DBC=60°
∴在Rt△BCD中，CD=BD•sin60°=a，
∴AB：CD=：，
∴S_△AOB：S_△COD=2：3，
同理：S_△AOD：S_△BOC=2：3，
∴==．
分析：首先由∠BAD=∠BCD=90°，可得點A，B，C，D共圓，且BD是直徑，即可證得△OCD∽△OBA，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得其比值，繼而求得答案．
點評：此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．