Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）的圖象與軸正半軸交于A點．

（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要證明二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，只要對應(yīng)的一元二次方程根的判別式大于0即可.

（2）求出直線AB的解析式，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得直線l的解析式.

（3）求出點M關(guān)于x軸的對稱點所在的二次函數(shù)解析式，由其在直線l的下方求出m的取值范圍．

試題解析：（1）令，則

.

∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點，

∴，且.

又，∴.

∴.

∴該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點．

（2）令，解得：．

由（1）得，故B的坐標(biāo)為（1，0）．

又因為∠ABO=45°，所以，即.

則可求得直線AB的解析式為.

再向下平移2個單位可得到直線．

（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為

∵M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個動點，

∴.

∴點M關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為.

∴點在二次函數(shù)上.

∵當(dāng)時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

結(jié)合圖象可知：，

解得：.

∴的取值范圍為．

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.平移和軸對稱的性質(zhì)；3．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；4．一元二次方程根的判別式.