Question

17．在△ABC中，∠ACB是銳角，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接EC．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），如圖①所示，請(qǐng)你直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是CE=BD，CE⊥BD；
（2）猜想論證：
在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②所示，請(qǐng)你判斷（1）中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷．
（3）拓展延伸：
如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于45度時(shí)，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立（點(diǎn)C、E重合除外）？此時(shí)若作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，且當(dāng)AC=3$\sqrt{2}$時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng)的最大值是$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 （1）線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）證明的方法與（1）一樣．
（3）過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽R(shí)t△DCF，得$\frac{MD}{CF}=\frac{AM}{DC}$，設(shè)DC=x，而∠ACB=45°，AC=$\sqrt{2}$，得AM=CM=3，MD=3-x，利用相似比可得到CF=-$\frac{1}{3}$x²+1，再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值．

解答 解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；
故答案為：CE=BD，CE⊥BD；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
如圖2，
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；
（3）45°；$\frac{3}{4}$；
過A作AM⊥BC于M，過E點(diǎn)作EN垂直于MA延長(zhǎng)線于N，如圖3，
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，
∴四邊形MCEN為矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四邊形MCEN為矩形，
∴Rt△AMD∽R(shí)t△DCF，
∴$\frac{MD}{CF}$=$\frac{AM}{DC}$，設(shè)DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴AM=CM=3，MD=3-x，∴$\frac{3-x}{CF}$=$\frac{3}{x}$，
∴CF=-$\frac{1}{3}$x²+x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)有最大值，最大值為$\frac{3}{4}$．
故答案為：45°，$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等及相似的判定與性質(zhì)．