Question

4．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$．
（1）求證：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大�。�
（3）若AD=3，BD=2，則BC=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定定理證明；
（2）根據相似三角形的對應角相等得到∠A=∠BCD，根據互余的性質解答；
（3）根據相似三角形的性質求出CD，根據勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：∵CD是邊AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
又$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°；
（3）解：∵$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD=6，
∴CD=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．