Question

18．已知而成函數(shù)y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，則新圖象與直線y=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值是1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求得k=0，得到解析式，將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；令拋物線的解析式中，y=0，可求出它函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．畫出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：
①過交點(diǎn)（-1，0），根據(jù)待定系數(shù)法，可得m的值；②不過點(diǎn)（-1，0），直線與y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）相切，根據(jù)判別式，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=[-2（k+1）]²-4×1×（k²-2k-3）＞0，
解得k＞-1，
當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)，k=0，
∴拋物線為y=x²-2x-3，
將該二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，所以新圖象的解析式為y₁=（x-1）²-4（x≤-1或x≥3）y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）．
①因?yàn)閥₂=x+m的k＞0，所以它的圖象從左到右是上升的，當(dāng)它與新圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)它一定過（-1，0）把（-1，0）代入y₂=x+m得-1+m=0 所以m=1，
②y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）與y=x+m相切時(shí)，圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
-（x-1）²+4=x+m，
△=1-4（m-3）=0，
解得m=$\frac{13}{4}$．
故答案為：1或$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，分類討論是解題關(guān)鍵，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線與拋物線相切時(shí)判別式等于零是解題關(guān)鍵．