Question

4．如圖，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）圖象交于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②試判斷點(diǎn)E與點(diǎn)D是否關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）令一次函數(shù)中y=0，解關(guān)于x的一元一次方程，即可得出結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)AE=AC=t，由此表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用特殊角的三角形函數(shù)值，通過計(jì)算可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
②根據(jù)點(diǎn)在直線上設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于點(diǎn)D橫坐標(biāo)的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合①中點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，得0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，解得：x=3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．：
（2）①過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

設(shè)AE=AC=t，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，t），
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°．
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$t，AF=AC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，$\frac{1}{2}$t）．
∴（3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）×$\frac{1}{2}$t=3t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2$\sqrt{3}$．
∴k=3t=6$\sqrt{3}$．
②點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，理由如下：
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
∴x（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$，解得：x₁=6，x₂=-3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-3，-2$\sqrt{3}$）．
又∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、解一元二次方程以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）令一次函數(shù)中y=0求出x的值；（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一元二次方程是關(guān)鍵．