Question

已知關于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）討論此方程根的情況；
（2）若方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

解：（1）當k=-1時，方程-4x-4=0為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根；
當k≠-1時，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²．
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴k為除-1外的任意實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根．
綜上，無論k取任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

（2）∵方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0中a=k+1，b=3k-1，c=2k-2，
∴x=，
∴x₁=-1，x₂=-2，
∵方程的兩個根是整數(shù)根，且k為正整數(shù)，
∴當k=1時，方程的兩根為-1，0；
當k=3時，方程的兩根為-1，-1．
∴k=1，3．
分析：（1）由于k的值不能確定，故應分k+1=0和k+1≠0兩種情況進行分類討論；
（2）先根據(jù)求根公式用k表示出x的值，再根據(jù)方程有兩個整數(shù)根，求出正整數(shù)k的值即可．
點評：本題考查的是根的判別式，在解答（1）時要注意分類討論，不要漏解．