Question

13．（1）如圖1，已知△ABC中，AB=AC，過點A作射線AM，使AM⊥BC交BC于點D．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）
（2）如圖2，已知△ABC中，點D是BC的中點，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）過點A作AD⊥BC于點D，如圖1；
（2）如圖2，先利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，則根據(jù)“HL”可證明Rt△BDE≌Rt△CDF，所以∠B=∠C，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理可判定△ABC是等腰三角形．

解答 解：（1）如圖1，AD為所作；
（2）如圖2，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DE=DF，
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．

點評 本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．也考查了等腰三角形的判定．