Question

6．在△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，連接CD，則線段CD的長為2或2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用A，D點在BC的兩側以及A，D點在BC的同側進而分別利用勾股定理求出答案．

解答 解：如圖1所示：過點D作DE⊥BC于點E，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，∠ABD=90°，
∴∠EBD=30°，AB=BD=2$\sqrt{3}$，
則DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，BE=3，
故EC=1，
則在Rt△DEC中，DC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
如圖2所示：過點D作DE⊥BC于點E，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，∠ABD=90°，
∴∠EBD=30°，AB=BD=2$\sqrt{3}$，
則DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，BE=3，
故EC=5，
則在Rt△DEC中，DC=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故線段CD的長為：2或2$\sqrt{7}$．

點評 此題主要考查了勾股定理以及直角三角形的性質，根據題意結合分類討論求出是解題關鍵．