Question

已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系。

（1）如圖（1），若AB=BC=AC，則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___；
（2）如圖（2），若AB=BC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想，并加以證明；（3）如圖（3），若AB=kBC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想，并加以證明。

Answer 1

解：（1）AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為AE=EF；
（2）猜想：（1）中得到的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化，如圖， 過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交AC于點(diǎn)H，則∠BAC+∠1=180°，∠BAC=∠2， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠3， ∴∠2=∠3， ∴EH=EC， ∵AD∥BC， ∴∠D+∠DCB=180°， ∵∠BAC=∠D， ∴∠1=∠DCB=∠ECF， ∵∠4=∠5，∠AEF=∠ACF， ∴∠6=∠7， ∴△AEH≌△FEC， ∴AE=EF；
（3）猜想：AE=kEF，如圖， 過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，交AC于點(diǎn)H，則△HEC∽△ABC， ∴， 同（2）可證∠AHE=∠FCE，∠EAH=∠CFE， ∴△AEH∽△FEC， ∴==k，即AE=kEF。