Question

如圖：△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于D
（1）若∠ABC=∠ACD  求證：CA為⊙O的切線；
（2）若E在BD上且DE=CD，連接CE，作DH⊥BC于H交CE于P，求證：PC=PD；
（3）在（2）條件下，若⊙O半徑為5，CE與AB交于F，CF=

15

2

，求：CD．

Answer 1

分析：（1）根據∠ABC+∠BCD=90°，可得∠ACD+∠BCD=90°，繼而得出BC⊥AC，結合切線的判定定理可得出CA為⊙O的切線；
（2）證明∠PDC=∠PCD即可得出PC=PD；
（3）首先判斷△CDF∽△BDC，可得出

CD

BD

=

CF

BC

=

3

4

，繼而在Rt△BCD中可求出CD的長度．

解答：解：（1）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
又∵∠ABC=∠ACD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴BC⊥AC，
∴CA為⊙O的切線．

（2）∵∠CDP+∠DCH=90°，∠DBC+∠DCH=90°，
∴∠CDP=∠DBC，
又∵DE=CD，
∴∠DCP=∠DBC=∠CDP，
∴PD=PC；

（3）∵∠DCF=∠DBC，∠CDF=∠BDC=90°，
∴△CDF∽△BDC，
∴

CD

BD

=

CF

BC

=

3

4

，
設CD=3x，則BD=4x，
在Rt△BCD中，BC=

CD2+BD2

=5x，則5x=10，
解得：x=2，
故可得CD=6．

點評：本題考查了圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定及切線的判定，綜合考察的知識點較多，解答本題需要我們熟練切線的判定定理及相似三角形的判定與性質．