Question

已知等邊△ABC和三角形內(nèi)一點P，設(shè)點P到△ABC三邊的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h。
（1）請寫出h與h₁、h₂、h₃的關(guān)系式，并說明理由；
（2）若點P在等邊△ABC的邊上，仍有上述關(guān)系嗎？
（3）若點P在三角形外，仍有上述關(guān)系嗎？若有，請你證明，若沒有，請你寫出它們新的關(guān)系式，并給予證明。

Answer 1

解：（1）連接PA，PB，PC，則S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB， ∴BCh=ABh1+ACh2+BCh3， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h=h1+h2+h3； （2）仍有h=h1+h2+h3； 理由：如圖：設(shè)P在AC上，則h2=0， 連接PB，則S△ABC=S△PBC+S△PAB， ∴BCh=ABh1+BCh3， ∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC， ∴h=h1+h3； 即h=h1+h2+h3； （3）h＜h1+h2+h3，連接PA，PB，PC， 則S△ABC＜S△PAC+S△PBC+S△PAB， ∴BCh＜ABh1+ACh2+BCh3， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h＜h1+h2+h3。