Question

平面直角坐標系中，直線y=-x+5交x軸、y軸于A、B兩點，C（2，m）是直線AB上一點，過點C的直線交x軸于點D（-2，0）
（1）求直線CD的函數(shù)解析式；
（2）已知直線CD交y軸于點E，求△BCE的面積；
（3）設(shè)P是折線段D-A-B上的一動點（異于點D、C），若△PCD是直角三角形，求PD的長．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（2）過C點作CF垂直于BE交y軸于F，利用三角形面積求法得出BE，CF的長即可得出答案；
（3）利用C點、D點不可能是直角三角形的頂點，則只有可能是P點是直角頂點，過C點作CM垂直于AD于M，過D點作DN垂直于AB于N，當P點與M點重合時，當P點與N點重合時，分別求出即可．

解答：解：（1）∵C在y=-x+5上，令x=2，則y=-2+5=3，
得m=3，所以C（2，3），
設(shè)CD解析式為y=kx+b把點C（2，3）、D（-2，0）代入y=kx+b得

2k+b=3 -2k+b=0

，
解得：

k= 3 2 b= 3 4

，
所以直線CD的函數(shù)解析式為：y=

3

4

x+

3

2

；
 
（2）如圖，過C點作CF垂直于BE交y軸于F，
因為直線CD交y軸于點E，所以令直線CD的x=0，得y=1.5，
所以E（0，1.5）所以S_△BCE=

1

2

•BE•CF=

1

2

×（5-1.5）×2=3.5；

（3）如圖，∵C點、D點不可能是直角三角形的頂點，∴只有可能是P點是直角頂點，
∴過C點作CM垂直于AD于M，過D點作DN垂直于AB于N，
當P點與M點重合時，DP=DM=OD+OM=4；
當P點與N點重合時，∵∠BAD=45°，
∴∠NDA=45°，
則直線DN垂直于直線AB，
又∵直線DN過D（-2，0），
所以直線DN的表達式為：y=x+2．
直線AB：y=-x+5與直線DN：y=x+2聯(lián)立方程組，得：

y=-x+5 y=x+2

，
解得：

x=1.5 y=3.5

所以N（1.5，3.5），
所以DP′=DN=

( 7 2 )2+( 7 2 )2

=

7

2

2

，
綜上所述：若△PCD是直角三角形，PD的長為4或

7

2

2

．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及二元一次方程解法和三角形面積求法等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．