Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為等邊三角形，

△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D．

（1）判斷點(diǎn)C是否為弧OB的中點(diǎn)？并說(shuō)明理由；

（2）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求直線CD的函數(shù)解析式；

（4）點(diǎn)P在線段OB上，且滿(mǎn)足四邊形OPCD是等腰梯形，求點(diǎn)P坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）C為弧OB的中點(diǎn)

            聯(lián)結(jié)AC

            ∵OC⊥OA    ∴AC為圓的直徑 

            ∴∠ABC=90°

∵△OAB為等邊三角形

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°

∵∠ACB=∠AOB=60°

∴∠COB=∠OBC=30°

∴弧OC=弧BC      

即C為弧OB的中點(diǎn)

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E

∵A（2，0）    ∴OA=2

∴OE=1，BE= 

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，）  

∵C為弧OB的中點(diǎn)，CD是圓的切線，AC為圓的直徑

∴AC⊥CD，AC⊥OB    ∴∠CAO=∠OCD=30°∴

∴C(0,)               

（3）在△COD中，∠ COD=90°，

∴OD=      ∴D(-,0)          

        ∴直線CD的解析式為：

（4）∵四邊形OPCD是等腰梯形

     ∴∠CDO=∠DCP=60°  

     ∴∠OCP=∠COB =30°

     ∴PC=PO            

     過(guò)點(diǎn)P 作PF⊥OC于F,  則OF=OC=,

∴ PF=                            

    ∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）