Question

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK.
(1)若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù).
(2)△MNK 的面積能否小于？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由.
(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值.

Answer 1

解：∵ABCD是矩形，    
∴AM// DN
∴∠KNM=∠1.    
∵∠CMN=∠1
∴∠XNM=∠KMN.     
∵∠1 =70°，    
∴∠XNM=∠ KMN= 70°.    
∴∠MKN= 40° 
(2)不能，過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=1    
由(1)知∠KNM=∠XMN.     
∴MK= NK  
又MK≥ME
∴NK≥1.
∴S_△AMK=NK·ME≥
∴△MNK 的面積最小值為，不可能小于
    
(3)分兩種情況：    
情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合.   
 設(shè)MK= MD=x，則AM=5-x
由勾股定理得：1²+ (5-x)²=x²，   
 解得，x=2.6
 即MD= ND= 2.6.
∴S_△MNK= S_△ACK =×1×2.6 =1.3
   
 情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC 對(duì)折，此時(shí)折痕為 AC.
設(shè)MK=AX= CK=x
則DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6.

∴S_△MNK= S_△ACK=×1×2.6 =1.3
∴△MNK的面積最大值為1.3.