Question

20．如圖，以線段AB為直徑作⊙O，CD與⊙O相切于點E，交AB的延長線于點C，連結(jié)BE，過點O作OD∥BE交切線CE于點D，連結(jié)AD．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AD=6，AC=8，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，再由OC與BE平行，得到同位角相等與內(nèi)錯角相等，根據(jù)OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC與三角形EOC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得證；
（2）利用勾股定里計算出DC長，進而可得EC長，設(shè)BC=x，然后再直角三角形EOC中，利用勾股定理計算出x的值．

解答 （1）證明：連接EO，
∵OD∥BE，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵EO=BO，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△ADO和△EDO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=EO}\\{∠3=∠4}\\{DO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△EDO（SAS），
∴∠DEO=∠DAO=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）∵AD=6，AC=8，
∴DC=10，
∴EC=4，
設(shè)BC=x，
∴（x+$\frac{8-x}{2}$）²=16+（$\frac{8-x}{2}$）²，
解得：x=2，
∴BC=2．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．