Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．點M為直角梯形ABCD內(nèi)一點，滿足∠AMD=135°，將△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的△ABN（AD與AB重合），連接MN．
（1）判斷線段MN和BN的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AM=1，MD=3

2

，求MB的長及點B到直線AN的距離；
（3）在（2）的情況下，若BC=8，求四邊形MBCD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出AM=AN，以及∠BAD=90°=∠NAM，進而得出∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，即可得出答案；
（2）過點B作BE⊥AN，交AN的延長線于點E，首先求出MN，BM的長，進而得出點B到直線AN的距離；
（3）首先得出S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，進而得出S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四邊形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，即可得出四邊形MBCD的面積．

解答：解：（1）MN⊥BN．
理由如下：
∵△ABN是由△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，且AD與AB重合，
∴∠NAM=∠BAD，∠AMD=∠ANB，AM=AN，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠BAD=90°=∠NAM，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∵∠AMD=135°，
∴∠ANB=135°，
∴∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，
  即MN⊥BN；

（2）過點B作BE⊥AN，交AN的延長線于點E．
由題及（1）知：∠NAM=90°，
AN=AM=1，BN=DM=3

2

，
∴MN=

12+12

=

2

，
∴BM=

2+18

=2

5

，
∵∠ANB=135°，
∴∠ENB=45°，
∴BE=NE=

2

2

BN=3，
即點B到直線AN的距離為3；
    
（3）由（2）知：AE=4，BE=3，
∴AB=

32+42

=5，
∵AD與AB重合，
∴AD=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，
∵△ABN是由△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴S_△ABN=S_△ADM，
∴S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四邊形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2

2

=

7

2

，
∴S_{四邊形MBCD}=S_梯形ABCD-（S_△ABM+S_△ADM）=

65

2

-

7

2

=29．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形面積求法以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，正確作出輔助線BE=NE是解題關(guān)鍵．