Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線EF切⊙O于點C，AD⊥EF于點D．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD＝30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留）

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見試題解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由切線的性質(zhì)證得OC⊥EF，從而證明OC∥AD，再根據(jù)等邊對等角和平行線的性質(zhì)可證得∠BAC=∠OCA和∠OCA=∠DAC，進(jìn)而可知∠DAC=∠BAC.

(2)由于陰影部分的面積=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA，所以先求出梯形的面積和扇形OCA的面積即可.

試題解析：

（1）證明：連接OC

∵直線EF切⊙O 于點C

∴OC⊥EF

∵AD⊥EF

∴OC∥AD

∴∠OCA=∠DAC

∵ OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∴∠DAC=∠BAC

即AC平分∠BAD

（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°

∴∠OCA=60°.

∵OC=OA

∴△OAC是等邊三角形

∵⊙O的半徑為2

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°

∵在Rt△ACD中，AD=AC=1

由勾股定理得：DC=

∴陰影部分的面積=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA

=×（2+1）×﹣

∴陰影部分的面積為：

考點: ①切線的性質(zhì)；②扇形的面積的計算；③等邊三角形的性質(zhì)與判定