Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，14），過(guò)點(diǎn)D的直線y=kx+b交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，四邊形ABCD、A₁B₁C₁C、A₂B₂C₂C₁，…均為正方形．
（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______；
（2）若如此連續(xù)組成正方形，則正方形A₃B₃C₃C₂的邊長(zhǎng)為______．

Answer 1

解：（1）過(guò)D作DP⊥x軸于P，DQ⊥y軸于Q，
∵D（6，14），
∴DP=14，DQ=6，
∵四邊形ABCD正方形，
∴∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=DC，
∴∠DAQ+∠BAO=90°，
又∵∠DAQ+∠ADQ=90°，
∴∠BAO=∠ADQ，
∵在△ADQ和△ABO中，
，
∴△ADQ≌△BAO（AAS），
∴DQ=AO=6，AQ=OB=OQ-OA=14-6=8，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB===10，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10；
在Rt△ADM中，DQ⊥AM，
∴△MDQ∽△DAQ，
∴DQ²=MQ•AQ，即36=8MQ，
∴MQ=，
∴OM=MQ+OQ=+14=，
則M（0，）；

（2）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ABO=∠A₁B₁B，
又∵∠AOB=∠BA₁B₁=90°，
∴△AOB∽△BA₁B₁，
又∵AB=BC=10，
∴=，即=，
又∵A₁C=A₁B₁，
∴A₁B₁==；
同理得到A₂B₂==，A₃B₃==．
故答案是：（1）10；（2）．
分析：（1）過(guò)D作DP垂直于x軸，DQ垂直于y軸．由D的坐標(biāo)得出DP與DQ的長(zhǎng)，在正方形ABCD中的四個(gè)角為直角，四條邊相等，由“同角的余角相等”得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AD=AB，利用AAS證得△ADQ≌△AOB，由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到QD=AO，AQ=OB，求出OA與OB的長(zhǎng)，在RtAOB中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即為正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到△AOB與△BA₁B₁相似，由相似得比例，將各自的值代入求出A₁B₁的長(zhǎng)，即為正方形A₁B₁C₁C的邊長(zhǎng)，同理求出A₂B₂C₂C₁的邊長(zhǎng)，以此類推，即可得到正方形A₃B₃C₃C₂的邊長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力．