Question

8．已知矩形ABCD，AB=BE=EF=FC=1，分別求出AE、AF、AC的長，并判斷△AEF與△CEA是否相似？

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出AE、AF、AC，再經(jīng)過計算得到$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，加上∠AEC=∠CEA，則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△AEF∽△CEA．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵EF=1，EC=2，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，
而∠AEC=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了勾股定理．