Question

已知：⊙P是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，以過點A的直徑所在直線為x軸，以BC所在直線為y軸建立平面直角坐標系，x軸與⊙P交于點D．
（1）求A，B，D三點坐標．
（2）求過A，B，D三點的拋物線的解析式．
（3）⊙P的切線交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，切點為點E，且∠NMO=30°，試判斷直線MN是否過拋物線的頂點？并說明理由．

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABO中，AB=6，∠ABO=60°，
因此OB=3，OA=3．
在直角三角形OBD中，∠DBC=∠DAC=30°，OB=3，
因此OD=．
因此A點的坐標為（3，0），B點的坐標為（0，3），D點的坐標為（-，0）．

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+）（x-3），
由于拋物線過B點，
則有：3=a××（-3），a=-．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+3=-（x-）²+4．

（3）連接PE，過E作EF⊥x軸于F，則PE⊥MN．
在直角△PEM中，∠NMO=30°，PE=2，
∴PM=4
∴OM=OP+PM=5，
在直角△OMN中，∠NMO=30°，OM=5
∴ON=5
因此M的坐標為（5，0），N點的坐標為（0，5）．
設直線MN的解析式為y=kx+5．
則有：5k+5=0，k=-
即直線MN的解析式為y=-x+5．
易知拋物線的頂點坐標為（，4）
當x=時，直線MN的值為y=-3+5=2，
因此拋物線頂點不在直線MN上．
分析：（1）根據(jù)正三角形ABC的邊長為6，可得出B，C的坐標分別為（0，3），（0，-3）．可在直角三角形ABO中，根據(jù)AB的長和∠ABO的度數(shù)利用三角函數(shù)求出OA的長，即可得出A點的坐標，然后用同樣的方法可求出OD的長，即可得出D點的坐標．
（2）由于拋物線過A，D兩點，可用交點式二次函數(shù)通式設拋物線的解析式，然后將B點坐標代入拋物線中即可得出拋物線的解析式．
（3）本題的關鍵是求出直線MN的解析式，首先要知道直線MN上任意兩點的坐標．可連接PE，可在直角三角形PEM中，根據(jù)∠NMO的度數(shù)和半徑的長求出PM的值，同理可在直角三角形OMN中求出ON的長，由此可求出M、N兩點的坐標，用待定系數(shù)法先求出直線MN的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入直線MN中即可判斷出直線MN是否過拋物線的頂點．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，等邊三角形的性質，解直角三角形以及切線的性質等知識點，考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．