Question

給定一個正整數(shù)n，凸n邊形中最多有多少個內(nèi)角等于150°？并說明理由．

Answer 1

解：設凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150°，則每個150°內(nèi)角的外角都等于30°，
而凸n邊形的n個外角和為360°，所以，
只有當n=12時，
k才有最大值12．
下面我們討論n≠12時的情況：
（1）當n＞12時，顯然，k的值是11；
（2）當n=3，4，5，6，7時，k的值分別為1，2，3，4，5；
（3）當n=8，9，10，11時，k的值分別為7，8，9，10．
綜上所述，當3≤n≤7時，凸n邊形最多有n-2個內(nèi)角等于150°；
當8≤n≤11時，凸n邊形最多有n-1個內(nèi)角等于150°；
當n=12時，凸n邊形最多有12個內(nèi)角等于150°；
當n＞12時，凸n邊形最多有11個內(nèi)角等于150°．
分析：設凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150°，則每個150°內(nèi)角的外角都等于30°，根據(jù)凸n邊形的n個外角和為360°可計算出k≤12，當n=12時，k有最大值12，再討論當n＞12時，當n=3，4，5，6，7時；當n=8，9，10，11時，k的值．
點評：此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．