Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，連結(jié)BD，線(xiàn)段OC上點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'恰好在線(xiàn)段BD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)分別與BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△AMN的面積相等，且線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）E(0，2)；（3）存在，點(diǎn)Q(，)或(，)

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式判斷出二次項(xiàng)的系數(shù)為﹣1，再根據(jù)點(diǎn)A，B坐標(biāo)的特點(diǎn)按交點(diǎn)式設(shè)出化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；

（2）先確定出直線(xiàn)BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E'的坐標(biāo)，代入直線(xiàn)BD解析式求解，即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)Q到直線(xiàn)PM的距離為h，根據(jù)△PQN與△AMN的面積相等，求出h＝1，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再分兩種情況，利用PQ最短，求出m，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

∵B（3，0），

∴直線(xiàn)BD的解析式為y＝﹣2x+6，

設(shè)點(diǎn)E（0，a），

∵點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，

∴E'（2，a），

∵點(diǎn)E'（2，a）在直線(xiàn)BD上，

∴﹣2×2+6＝a，

∴a＝2，

∴E（0，2）；

（3）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

∵B（3，0），

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），

∴M（m，﹣m+3），N（m，0），

∴S△AMN＝ANMN＝（m+1）（﹣m+3）＝﹣（m+1）（m﹣3），

設(shè)點(diǎn)Q到直線(xiàn)PM的距離為h，

∴S△PQN＝PNh＝（﹣m2+2m+3）h，

∵△PQN與△AMN的面積相等，

∴﹣（m+1）（m﹣3）h＝﹣（m+1）（m﹣3），

∴h＝1，

∴Q的橫坐標(biāo)為（m+1）或（m﹣1），

∴Q（m+1，﹣m2+4）或（m﹣1，﹣m2+4m），

當(dāng)Q（m+1，﹣m2+4）時(shí)，PQ2＝（m+1﹣m）2+[﹣m2+4﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣1）2+1，

當(dāng)m＝時(shí)，PQ2最小，即PQ最小，此時(shí)Q（，），

當(dāng)Q（m﹣1，﹣m2+4m）時(shí)，PQ2＝（m﹣1﹣m）2+[﹣m2+4m﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣3）2+1，

當(dāng)m＝時(shí)，PQ2最小，即PQ最小，此時(shí)Q（，），

即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q（，）或（，）．