Question

14．如圖，⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作弦心距OD，先根據(jù)已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得：∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半可求得OD的長，根據(jù)勾股定理得DC的長，最后利用垂徑定理得出結(jié)論．

解答 解∵∠BAC與∠BOC互補，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOC=120°，
過O作OD⊥BC，垂足為D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°-60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC=$\sqrt{3}$，
∴BC=2DC=2$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題考查了圓周角定理、垂徑定理及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是關(guān)鍵，本題中利用圓周角定理中圓周角與圓心角的關(guān)系得出角的度數(shù)，從而得到△ODC是30°的直角三角形，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半得到OD的長，從而得出弦BC的長．