Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC的中點，∠AFG=90°，且FG交正方形的外角∠DCP的平分線CG于點G．
（1）求證：∠BAF=∠CFG；
（2）求證：△AEF≌△FCG；
（3）連接DE、DG，判定四邊形DEFG是怎樣的四邊形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于∠AFG是直角，則∠BAF，∠CFG同為∠AFB的余角，由此得證；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得AE=FC，∠AEF=∠GCF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個三角形全等；
（3）由（2）證得△AEF≌△FCG，得到AF=FG，由△AED≌△ABF，得到DE=AF，∠1=∠3，根據(jù)互余角的關(guān)系得到兩邊平行的條件，然后根據(jù)一組對邊平行且相等得到結(jié)論

解答 解：（1）證明：∵∠AFG=90°，
∴∠GFC+∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠GFC；

（2）證明：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，
∴AE=BE=BF=CF，
∴∠AEB=135°，
∵CG是正方形的外角∠DCP的平分線，
∴∠FCG=135°，
在△AEF與△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CFG}\\{AE=CF}\\{∠AEF=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△FCG；

（3）由（2）證得△AEF≌△FCG，
∴AF=FG，
在△AED與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠B}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABF，
∴DE=AF，∠1=∠3，
∴DE=FG，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴DE⊥AF，
∴DE∥GF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等；綜合性較強，難度適