Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx十c（a＜0）與y軸交相交于點C（0．t）．直線CD經(jīng)過點C且平行于x軸，設直線CD與拋物線F的交點為點C、D．拋物線F與x軸的交點為點A，B，連接AC、BC．
（1）當a=-，b=-，t=2時，探究△ABC的形狀，并說明理由．
（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）．
（3）在（2）的條件下，若點B關于y軸的對稱點B′．且BB′=BC，連接AD，求梯形ABCD的面積（用含a的式子表示）．

Answer 1

解：（1）當a=-，b=-，t=2時，△ABC是直角三角形．理由如下：
由題意，得-x²-x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），AB=5，
又∵C（0，2），OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC為直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠OCB=90°-∠OCA，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA•OB．
設拋物線y=ax²+bx十c與x軸的交點A的坐標為（x₁，0），B的坐標為（x₂，0），
則x₁•x₂==，
∴t²=-x₁•x₂=-，
解得t₁=-，t₂=0（不合題意舍去），
故所求t的值為-；

（3）如圖，連接B′C、B′D．
∵點B關于y軸的對稱點B′，
∴BC=B′C，
∵BB′=BC，
∴BB′=BC=B′C，
∴∠CBB′=∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠BCB′=90°-60°=30°，
∴∠B′AC=∠CB′B-∠ACB′=60°-30°=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC，
∴AB′=B′C=B′B，
∴B′為AB中點，B′在對稱軸上．
易證△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等邊三角形，
∴梯形ABCD的面積=△B′BC面積的3倍=△OBC面積的6倍．
∵在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=60°，OC=t=-，
∴OB==-=-，
∴梯形ABCD的面積=6××（-）×（-）=．
分析：（1）先將a=-，b=-，t=c=2代入y=ax²+bx+c，再令y=0，得-x²-x+2=0，解方程求出x₁=1，x₂=-4，得到A、B兩點的坐標，且求出AB=5，再根據(jù)勾股定理分別計算出AC²、BC²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC是直角三角形；
（2）由于∠CAB與∠CBA都是銳角，所以當△ABC為直角三角形時，∠ACB=90°，根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似得出△AOC∽△COB，由相似三角形對應邊成比例得到OC²=OA•OB．設拋物線y=ax²+bx十c與x軸的交點A的坐標為（x₁，0），B的坐標為（x₂，0），根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出x₁•x₂==，則t²=-x₁•x₂=-，解方程求出t的值即可；
（3）連接B′C，先由軸對稱的性質及BB′=BC，得出△BCB′是等邊三角形，再證明∠ACB′=∠B′AC=30°，得出B′為AB中點，B′在對稱軸上．易證△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等邊三角形，則梯形ABCD的面積=△B′BC面積的3倍=△OBC面積的6倍，解Rt△OBC，得出OB==-，則梯形ABCD的面積可求．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)與一元二次方程的關系，勾股定理及其逆定理，相似三角形、等邊三角形、全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質，解直角三角形，梯形的面積，綜合性較強，難度適中，運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．