Question

6．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，連AM，作MN⊥AM，且MN=AM，連接AN交BC于E，連接ME．
（1）求證：MN平分∠CME；
（2）若AB=4，CE=3，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，作AK⊥ME，先證明△AMH≌△AME得AB=AK（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），所以∠AMB=∠AMK，再利用等角的余角相等證明MN平分∠CME即可．
（2）先證明：EM=BM+DE，在RT△EMC中利用勾股定理解決即可．

解答 解：如圖所示，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，作AK⊥ME，
∵M(jìn)A=MN，∠AMN=90°，
∴∠MAN=∠MNA=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠MAB+∠DAE=45°，
∵∠DAE=∠HAB，
∴∠HAB+∠BAM=45°=∠MAE，
在△AMH和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠MAH=∠MAE}\\{AH=AE}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△AME，
∴ME=MH=BM+BH=BM+DE，AB=AK（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），
∵AB⊥BM，AK⊥EM
∴∠AMB=∠AMK，
∵∠AMB+∠NMC=90°，∠AMK+∠EMN=90°，
∴∠EMN=∠NMC，
∴MN平分∠CME．
（2）由（1）可知：ME=BM+DE，設(shè)CM=x，則BM=4-x，ME=1+（4-x）=5-x，
在RT△EMC中，∵EM²=EC²+MC²，
∴（5-x）²=x²+3²，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴CM=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．