Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是(0，4)，點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連結(jié)AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

(1)求直線AB的解析式；

(2)當點P運動到點(，0)時，求此時DP的長及點D的坐標；

(3)是否存在點P，使△OPD的面積等于，若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．由已知得BF＝OE＝2，OF＝＝ 　　∴點B的坐標是(，2)……(1分) 　　設(shè)直線AB的解析式是y＝kx＋b，則有解得……(2分) 　　∴直線AB的解析式是y＝x＋4……(1分) 　　(2)如圖，∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到， 　　∴△ABD≌△AOP，∴AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∴∠DAP＝∠BAO＝600， 　　∴△ADP是等邊三角形， 　　∴DP＝AP＝．……(2分) 　　如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH． 　　方法(一) 　　在Rt△BDG中，∠BGD＝900，∠DBG＝600． 　　∴BG＝BD·cos600＝×＝． 　　DG＝BD·sin600＝×＝． 　　∴OH＝EG＝，DH＝ 　　∴點D的坐標為(，)……(2分) 　　方法(二) 　　易得∠AEB＝∠BGD＝900，∠ABE＝∠BDG，∴△ABE∽△BDG， 　　∴而AE＝2，BD＝OP＝，BE＝2，AB＝4，則有 　　，解得BG＝，DG＝∴OH＝，DH＝ 　　∴點D的坐標為(，)……(2分) 　　(3)假設(shè)存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于． 　　設(shè)點P為(t，0)，下面分三種情況討論： 　�、佼攖＞0時，如圖，BD＝OP＝t，DG＝t， 　　∴DH＝2＋t．∵△OPD的面積等于， 　　∴， 　　解得，(舍去)． 　　∴點P1的坐標為(，0) 　�、诋�＜t≤0時，如圖，BD＝OP＝－t，BG＝－t， 　　∴DH＝GF＝2－(－t)＝2＋t． 　　∵△OPD的面積等于， 　　∴， 　　解得，． 　　∴點P2的坐標為(，0)，點P3的坐標為(，0)． 　　③當t≤時，如圖，BD＝OP＝－t，DG＝－t， 　　∴DH＝－t－2． 　　∵△OPD的面積等于， 　　∴， 　　解得(舍去)， 　　∴點P4的坐標為(，0) 　　綜上所述，點P的坐標分別為P1(，0)、P2(，0)、P3(，0)、P4(，0)……(4分)