Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從0點(diǎn)出發(fā)沿0C向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為1個(gè)單位/秒．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求線段BC的長；

(2)連接PQ交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)F．設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：

(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BE¹F¹，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E¹落在線段AB上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F¹，E¹F¹交x軸于點(diǎn)G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時(shí)，2BQ－PF＝QG？

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由△AOB為等邊三角形得∠ACB＝∠OBC＝30°， 　　由此CO＝OB＝AB＝OA＝3，在RT△ABC中，AC為6，從而BC＝ 　　(2)過點(diǎn)Q作QN∥0B交x軸于點(diǎn)N，先證△AQN為等邊三角形，從而NQ＝NA＝AQ＝3－t，NON＝3－(3－t)＝t 　　PN＝t＋t＝2t，再由△POE∽△PNQ后對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算得再由EF＝BE易得出m與t之間的函數(shù)關(guān)系式 　　(3)先證△AE’G為等邊三角形，再證∠QGA＝90° 　　通過兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過解方程求出 　　解答：(1)解：圖l∵△AOB為等邊三角形　∴∠BAC＝∠AOB＝60． 　　∵BC⊥AB∴∠ABC＝90°　∴∠ACB＝30°∠OBC＝30° 　　∴∠ACB＝∠OBC　∴CO＝OB＝AB＝OA＝3 　　∴AC＝6　∴BC＝AC＝ 　　(2)解：圖l過點(diǎn)Q作QN∥0B交x軸于點(diǎn)N 　　∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN　∴QN＝QA 　　∴△AQN為等邊三角形 　　∴NQ＝NA＝AQ＝3－t 　　∴NON＝3－(3－t)＝t 　　∴PN＝t＋t＝2t 　　∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ 　　∴ 　　∴∴ 　　∵EF∥x軸 　　∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30° 　　∴EF＝BE∴m＝BE＝OB－OE(0＜t＜3) 　　(3)解：圖2 　　 　　∴∠AEG＝600＝∠EAG 　　∴GE1＝GA　∴△AE’G為等邊三角形 　　 　　 　　∴∠l＝∠2　∠3＝∠4 　　∵∠l＋∠2＋∠3＋∠4＝180°∴∠2＋∠3＝90° 　　即∠QGA＝90° 　　∵EF∥OC 　　 　　 　　 　　∵∠FCP＝∠BCA 　　∴△FCP∽△BCA 　　∵2BQ－PF＝QG∴∴t＝1∴當(dāng)t＝1時(shí)，2BQ－PF＝QG

提示：

考點(diǎn)：等邊三角形判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和、等腰三角形判定，一元一次方程