Question

9．已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PE，過(guò)E作EQ⊥PE交邊CD于Q，直線PQ交直線AD于點(diǎn)G．
（1）如圖，當(dāng)BP=1.5時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在射線AD上時(shí)，設(shè)BP=x，DG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于EQ⊥PE，所以易證△PEB∽△EQC，所以$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$，進(jìn)而求出CQ長(zhǎng)度．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，易證△QDG∽△QPF，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的關(guān)系式．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，
∴BE=CE=2，
∵EQ⊥PE，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=∠EQC+∠QEC=90°，
∴∠PEB=∠EQC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{8}{3}$，
（2）由（1）可知：△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{4}{x}$，
當(dāng)CQ=4時(shí)，
此時(shí)x=1，
∴1≤x≤4，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，
∴△QPF∽△QGD，
∴$\frac{PF}{DG}=\frac{QF}{DQ}$
∵CF=PB=x，
∴QF=CQ-CF=$\frac{4}{x}-x$，
DQ=CD-CQ=4-$\frac{4}{x}$
∴$\frac{4}{y}=\frac{\frac{4}{x}-x}{4-\frac{4}{x}}$，
化簡(jiǎn)可得：y=$\frac{4（4x-4）}{4-{x}^{2}}$（1≤x≤4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明△PEB∽△EQC，利用相似三角形的性質(zhì)求出CQ的長(zhǎng)度，本題屬于中等題型．