Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線，CO平分∠ACD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AC=2，BC=3，求AB的長．

Answer 1

考點：

切線的判定與性質(zhì)；勾股定理。

專題：

數(shù)形結(jié)合。

分析：

（1）過O點作OE⊥CD于點E，通過角平分線的性質(zhì)得出OE=OA即可證得結(jié)論．

（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出DC的長度，繼而在RT△DFC中利用勾股定理可得出DF的長，繼而可得出AB的長度．

解答：

（1）證明：過O點作OE⊥CD，垂足為E，

∵AC是切線，

∴OA⊥AC，

∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，

∴OA=OE，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過C點作CF⊥BD，垂足為E，

∵AC，CD，BD都是切線，

∴AC=CE=2，BD=DE=3，

∴CD=CE+DE=5，

∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，

∴四邊形ABFC是矩形，

∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1，

在Rt△CDF中，CF²=CD²﹣DF²=5²﹣1²=24，

∴AB=CF=2．

點評：

此題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及勾股定理的知識，證明第一問關(guān)鍵是掌握切線的判定定理，解答第二問關(guān)鍵是熟練切線的性質(zhì)，難度一般．