Question

17．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊上的兩點，EF交于CD于H，
（1）如圖1，若∠EFC=∠A，求證：CE•CD=CH•BC；
（2）如圖2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的長；
（3）如圖3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4$\sqrt{3}$，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ECH∽△BCD，可得$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CH}{CD}$，即可推出CE•CD=CH•BC；
（2）如圖2中，連接AH．只要證明△AEH∽△HFB，可得$\frac{AE}{HF}$=$\frac{EH}{FB}$，推出FH²=6，推出HE=HF=$\sqrt{6}$，即可解決問題．
（3）只要證明△ECF∽△BCA，求出CF即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，
∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CH}{CD}$，
∴CE•CD=CH•BC．

（2）解：如圖2中，連接AH．

∵BH、CH都是△ABC的角平分線，
∴AH是△ABC的角平分線，
∴∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$BAC=90°+∠HAE，
∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，
∴CH⊥EF，HF=HE，
∴∠CHF=90°，
∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，
∴∠HAE=∠BHF，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AEH=∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴$\frac{AE}{HF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∴FH²=6，
∴HE=HF=$\sqrt{6}$，
∴EF=2$\sqrt{6}$．

（3）解：如圖3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．設(shè)HF=x，F(xiàn)N=y．

∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，
∴HM=HN=$\frac{5}{2}$，CM=CN=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵CE=4$\sqrt{3}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，EH=$\sqrt{E{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵S_△HCF：S_△HCE=FH：EH=FC：EC，
∴x：$\sqrt{13}$=（y+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）：4$\sqrt{3}$   ①，
又∵x²=y²+（$\frac{5}{2}$）²，
解得y=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（舍棄），
∴CF=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，
∴△ECF∽△BCA，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CF}{EC}$=$\frac{\frac{20\sqrt{3}}{7}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．