Question

2．設(shè)函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1（k為實(shí)數(shù)）
（1）寫(xiě)出其中的兩個(gè)特殊的函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）對(duì)任意的k，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令k=0或1，分別得到兩個(gè)特殊函數(shù)，把解析式聯(lián)立方程，解方程即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得到kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程組，通過(guò)解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）如兩個(gè)函數(shù)為y=x+1，y=x²+3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+3x+1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$
∴交點(diǎn)為（-2，-1），（0，1）；
（2）依題意得kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+1=0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以該拋物線必過(guò)定點(diǎn)（0，1）、（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)與二元二次方組的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．