Question

13．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．
（1）該拋物線解析式為y=-x²+2x+3；頂點坐標(biāo)為（1，3）；
（2）將該拋物線向下平移3個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度使得拋物線的頂點在△ABC內(nèi)部（不包括邊界），試求n的取值范圍；
（3）在y軸上是否存在點P，使得∠APO+∠ACO=∠ABC？若存在，求出CP的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，進而求出頂點坐標(biāo)；
（2）由拋物線的頂點式，可得出平移后的拋物線解析式，再確定出直線BC的解析式，當(dāng)y=1時，x=2，即可得出n的范圍；
（3）分點P在y軸正半軸和負半軸兩種情況：①判斷出△COA～△CDP得出比例式即可得出結(jié)論；②借助①和軸對稱即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故頂點坐標(biāo)為（1，4）；

（2）由（1）得，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
平移后的拋物線為：y=-（x-1-n）²+4-3=-（x-1-n）²+1，
∴平移后的拋物線頂點為（1+n，1），
設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，
將B（3，0）、C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)y=1時，x=2，
∴1＜1+n＜2，
∴0＜n＜1，

（3）存在，
理由：①當(dāng)P在y軸負半軸上時，如圖，
過點P作AC的垂線，垂足為D，
∵∠OPA+∠OCA=∠PAD，
又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
設(shè)AD=PD=x，則CD=AC+AD=x+$\sqrt{10}$，
又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，
∴△COA～△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}$=$\frac{AO}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{3}{x+\sqrt{10}}$=$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{10}}{PC}$，
∴x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，PC=$\sqrt{10}$x=5，
PO=PC-OC=5-3=2；                        
②當(dāng)P₁在y軸正半軸上時，取OP₁=OP=2，如圖，
則由對稱知：∠OP₁A=∠OPA，P₁O=PO=2，
∴∠OP₁A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，
同理P₁也滿足題目條件，∴P₁C=OC-OP₁=3-2=1，
綜合以上得：PC=5或1．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出平移后的拋物線的解析式，解（3）的關(guān)鍵是判斷出△COA～△CDP，是一道中等難度的題目．