Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且，sin∠OAB=。
（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在（1）中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（-2k ，0）、點(diǎn)R（5k，0）（k>1的常數(shù)），設(shè)過Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為，△QNR的面積，求∶的值。

Answer 1

解：（1）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D， 在中， ∵， ∴， 又由勾股定理，得 ， ∴ ∵點(diǎn)B在第一象限內(nèi)， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）， ∴點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-3）， 設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為， 由 ∴經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為； （2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形， ①∵點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)， ∴過點(diǎn)C作直線OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P1 則直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-3， 對(duì)于，令或， ∴ 而點(diǎn)， 在四邊形中，，顯然 ∴點(diǎn)是符合要求的點(diǎn) ②若，設(shè)直線CO的函數(shù)表達(dá)式為， 將點(diǎn)代入，得， ∴直線CO的函數(shù)表達(dá)式為， 于是可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為 將點(diǎn)代入，得 ∴直線的函數(shù)表達(dá)式為 由，即， ∴ 而點(diǎn)， 過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，則， 在中，由勾股定理，得 而， ∴在四邊形中，，但， ∴點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)， ③若，設(shè)直線CA的函數(shù)表達(dá)式為， 將點(diǎn)代入，得 ∴直線CA的函數(shù)表達(dá)式為， ∴直線的函數(shù)表達(dá)式為， 由，即， ∴ 而點(diǎn)， 過點(diǎn)作軸于點(diǎn)F，則， 在中，由勾股定理，得， 而 ∴在四邊形中，，但， ∴點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)， 綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形； （3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下， ①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，則此拋物線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N， 可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為， 即， 如圖，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)G ∵，， ∴， ∴  ∴  ②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，則此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)N， 同理，可得， 綜上可知，的值為。