Question

20．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，試問：圖中有多少個黃金三角形，為什么？

Answer 1

分析 由等腰梯形的性質(zhì)和已知條件得出∠ABC=∠DCB，∠ACD=∠ABD=∠ADB=∠DAO=∠BCO=∠CBO，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠ABC=∠DCB=∠BDC，設(shè)∠ABD=∠BCO=x，則∠ABC=∠BAC=2x，在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程得出∠BAC=∠ABC=72°，得出△ABC是黃金三角形，同理：△DBC是黃金三角形；由三角形的外角性質(zhì)得出△ABO是黃金三角形，同理：△DCO是黃金三角形，即可得出結(jié)論．

解答 解：圖中有4個黃金三角形；理由如下：
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACD=∠ABD=∠ADB=∠DAO=∠BCO=∠CBO，
∵AC=BD=BC，
∴∠BAC=∠ABC=∠DCB=∠BDC，
設(shè)∠ABD=∠BCO=x，則∠ABC=∠BAC=2x，
在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BAC=∠ABC=72°，
∴△ABC是黃金三角形，
同理：△DBC是黃金三角形；
∵∠AOB=∠DAC+∠ADB=2x=72°=∠BAC，
∴△ABO是黃金三角形，
同理：△DCO是黃金三角形，
∴圖中有4個黃金三角形．

點評 本題考查了黃金三角形的定義、等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．