Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（-3，0），并且當(dāng)兩直線同時相交于y正半軸的點(diǎn)C時，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點(diǎn)K，如圖所示。
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。
（3）當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點(diǎn)為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意易知：△BOC∽△COA，
∴，
即
∴
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，）
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
把A（1，0），B（-3，0）的坐標(biāo)分別代入，
得
解這個方程組，得
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF
理由如下：
可求得直線的解析式為，
直線的解析式為
拋物線的對稱軸為直線
由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-1，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0）
∴KD=，DE=，EF=
∴KD=DE=EF
（3）（i）以點(diǎn)K為圓心，線段KC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)M₁，由拋物線對稱性可知點(diǎn)M₁為點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，），此時△為等腰三角形
（ii）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CK長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)A，而三點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形
（iii）作線段KC的中垂線l，由點(diǎn)D是KE的中點(diǎn)，且，可知l經(jīng)過點(diǎn)D，
∴KD=DC
此時，有點(diǎn)即點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，），使△為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（-2，），（-1，）時，△MCK為等腰三角形。