Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大�。ㄓ煤�α的式子表示）；
（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-α；

（2）△ABE是等邊三角形，
證明：連接AD，CD，ED，
∵線段BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，
則BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α，且△BCD為等邊三角形，
在△ABD與△ACD中

∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°-（30°-α）-150°=α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形；

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=（180°-150°）=15°，
∵∠EBC=30°-α=15°，
∴α=30°．
分析：（1）求出∠ABC的度數(shù)，即可求出答案；
（2）連接AD，CD，ED，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD為等邊三角形，證△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，證△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；
（3）求出∠DCE=90°，△DEC為等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．