Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=12，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C→D方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿D→A→B方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在整過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求：線段PQ的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路程．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交CD于E，

∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，CE=AB=4，
∴DE=CD-CE=12-4=8，
∵AD=BC，
∴AE=BC，
∵∠C=60°，
∴∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴AD=DE=8；

（2）存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
于是12-t=t，t=6．
此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖2所示，△PDQ恰為等邊三角形．
過(guò)點(diǎn)D作DO⊥PQ于點(diǎn)O，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，

∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=CD=PD，即MP=PD=DQ=QM，
∴四邊形PDQM是菱形，
∴存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC-MC=8-6=2；

（3）PQ的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡分為兩部分；

當(dāng)Q在AD上時(shí)，PQ的中點(diǎn)O關(guān)于AF對(duì)稱的一條線段，長(zhǎng)度是相同的．起點(diǎn)是CD的中點(diǎn)、終點(diǎn)是AF的中點(diǎn)；
當(dāng)Q在AB上時(shí)，PQ的中點(diǎn)O始終不動(dòng)，此段Q中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為0．
∴線段PQ的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路程為：4．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交CD于E，易證得四邊形ABCE是平行四邊形，即可求得DE的長(zhǎng)，繼而可得△AED是等邊三角形，則可求得AD的長(zhǎng)；
（2）若存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ，即可求得△PDQ恰為等邊三角形．過(guò)點(diǎn)D作DO⊥PQ于點(diǎn)O，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，繼而可得MC⊥DM，則可求得BM的長(zhǎng)；
（3）分析可得PQ的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡分為兩部分；當(dāng)Q在AD上時(shí)，PQ的中點(diǎn)O關(guān)于AF對(duì)稱的一條線段，長(zhǎng)度是相同的．起點(diǎn)是CD的中點(diǎn)、終點(diǎn)是AF的中點(diǎn)；當(dāng)Q在AB上時(shí)，PQ的中點(diǎn)O始終不動(dòng)，則可求得線段PQ的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路程．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．