Question

（1）如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F，試判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖所示，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，AE=AF，試說(shuō)明BE平分∠ABC．

Answer 1

分析：（1）由角平分線(xiàn)的定義得到∠ABF=∠DBF，再利用互為余角的關(guān)系和三角形內(nèi)外角的關(guān)系，可以得到∠AEF=∠AFE，由此可判定△AEF是等腰三角形；
（2）若要證明BE平分∠ABC，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明∠ABF=∠CBF即可．

解答：（1）解：△AEF是等腰三角形，
理由如下：
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFE=90°-∠ABF，∠DEB=90°-∠DBF，
∴∠AFE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）證明：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFE+∠ABF=90°，∠DEB+∠BED=90°，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠ABF=∠DBF，
∴BF平分∠ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及三角形的內(nèi)外角的關(guān)系，充分利用這些性質(zhì)得到一組角相等，然后利用等腰三角形的判定即可證明結(jié)論．