Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)C(1，0)，如圖所示，拋物線y＝ax²－ax－2經(jīng)過點(diǎn)B．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△CAO，即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)； 　　(2)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式； 　　(3)分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3＝AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案． 　　解答：解：(1)過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D， 　　∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠AC0＋∠OAC＝90°， 　　∴∠BCD＝∠CAO， 　　又∵∠BDC＝∠COA＝9°，CB＝AC， 　　∴△BDC≌△CAO， 　　∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2， 　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)； 　　(2)∵拋物線y＝ax2－ax－2過點(diǎn)B(3，1)， 　　∴1＝9a－3a－2， 　　解得：a＝， 　　∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2； 　　(3)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是直角三角形， 　　①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)， 　　則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖(1)， 　　∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°， 　　∴△MP1C≌△DBC， 　　∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1， 　　∴P1(－1，－1)，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y＝x2－x－2上； 　�、谌粢訟C為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC， 　　得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖(2)， 　　同理可證△AP2N≌△CAO， 　　∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1， 　　∴P2(－2，1)，經(jīng)檢驗(yàn)P2(－2，1)也在拋物線y＝x2－x－2上； 　�、廴粢訟C為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3＝AC， 　　得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖(3)， 　　同理可證△AP3H≌△CAO， 　　∴HP3＝OA＝2，AH＝OC＝1， 　　∴P3(2，3)，經(jīng)檢驗(yàn)P3(2，3)不在拋物線y＝x2－x－2上； 　　故符合條件的點(diǎn)有P1(－1，－1)，P2(－2，1)兩點(diǎn)． 　　點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性和強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用的應(yīng)用．

提示：

二次函數(shù)綜合題．