Question

8．已知線段AB=a，CD=b，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），|a-2b|與（6-b）²互為相反數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，BC=4，求MN的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，問(wèn)$\frac{PA+PB}{PC}$的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知a-2b=0，6-b=0，從而可求得a、b的值；
（2）需要分類討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM、DN的長(zhǎng)度，然后計(jì)算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長(zhǎng)度；
（3）先求得AC=BC=6，然后求得PA+PB=2PC，從而可求得答案．

解答 解：（1）∵|a-2b|與（6-b）²互為相反數(shù)|，
∴|a-2b|+（6-b）²=0，
∴a-2b=0，6-b=0，
∴b=6，a=12，
（2）∵b=6，a=12，
∴AB=12，CD=6．
如圖1所示：

∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=$\frac{1}{2}×（12+4）$=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD+BC）=$\frac{1}{2}×（6+4）$=5，
∴MN=AD-AM-DN=12+4+6-8-5=9；
如圖2所示：

∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB-BC）=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；
綜上所述，MN=9．
（3）如圖3所示：

∵AB=12，CD=6，
∴AC=12-6=6．
∴AC=BC．
∴$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{PC+AC+PC-CB}{PC}$=$\frac{2PC}{PC}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題的關(guān)鍵．