Question

如圖，在直角坐標平面內，O為坐標原點，A點的坐標為(1，0)，B點在x軸上且在點A的右側，AB＝OA，過點A和B作x軸的垂線分別交二次函數y＝x²的圖象于點C和D，直線OC交BD于M，直線CD交y軸于點H．記C、D的橫坐標分別為x_C，x_D，點H的縱坐標y_H．

(1)證明：①S_△CMD∶S梯形_ABMC＝2∶3

②x_C·x_D＝－y_H

(2)若將上述A點坐標(1，0)改為A點坐標(t，0)，t＞0，其他條件不變，結論S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得點B的坐標為(2，0)點C的坐標為(1，1)，點D的坐標為(2，4)，且直線OC的函數解析式為y＝x． 　　∴點M的坐標為(2，2)，易得S△CMD＝1，S梯形ABMC＝　　(1.5分) 　　∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即結論①成立． 　　設直線CD的函數解析式為y＝kx＋b，則 　　即 　　∴直線CD的解析式為y＝3x－2． 　　由上述可得點H的坐標為(0，－2)，即yH＝－2　　(2.5分) 　　∴xC·xD＝－yH．即結論②成立　　(3分) 　　(2)結論S△CMD：S梯形ABMC＝2：3仍成立．　　(4分) 　　理由如下：∵點A的坐標為(t，0)，(t＞0)． 　　則點B的坐標為(2t，0) 　　從而點C的坐標為(t，t2)，點D的坐標為(2t，4t2)． 　　設直線OC的解析式為y＝kx，則t2＝kt 　　得k＝t 　　∴直線OC的解析式為y＝tx　　(5分) 　　又設M的坐標為(2t，y) 　　∵點M在直線OC上 　　∴當x＝2t時，y＝2t2 　　∴點M的坐標為(2t，2t2)　　(6分) 　　∴S△CMD：S梯形ABMC＝·2t2·t∶(t2＋2t2)·t 　　＝t3∶(t3) 　�。�　　(7分) 　　(3)xC，xD和yH有關數量關系xC·xD＝－yH．　　(8分) 　　由題意，當二次函數的解析式為y＝ax2(a＞0)，且點A的坐標為(t，0)時，點C的坐標為(t，at2)，點D的坐標為(2t，4at2)　　(9分) 　　設直線CD的解析式為y＝kx＋b 　　則 　　得 　　∴CD的解析式為y＝3atx－2at2　　(11分) 　　則H的坐標為(0，－2at2)即yH＝－2at2　　(11.5分) 　　∵xC·xD＝t·2t＝2t2　　(12分) 　　∴xC·xD＝－yH．