Question

14．如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是AD邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A，D不重合），現(xiàn)將△PCD沿PC翻折，得到△PCD′，再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△PAE沿PE翻折，得到△PA′E，并使直線PD′，PA重合，線段AE的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可設(shè)AE=x，PD=y，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得到∠EPC=90°，從而可以推證△EA'P∽△PD'C，通過相似三角形對應(yīng)邊的比找到y(tǒng)與x的關(guān)系式，利用配方法得到x的最大值．

解答 解：∵由題意可知∠APE=∠EPA′，∠DPC=∠D′PC，AP=A′P，DC=D′C
∴∠EPC=90°，
∵∠A=∠A′=90°，∠D=∠PD′C=90°，
∴∠A′EP=∠D′PC，
∴△EA'P∽△PD'C
∴$\frac{EA′}{PD′}=\frac{A′P}{D′C}$
設(shè)AE=x，PD=y，
∵AB=3，BC=4，
∴AP=4-y，
∴$\frac{x}{y}=\frac{4-y}{4}$，整理得x=-$\frac{1}{3}$（y-2）²+$\frac{4}{3}$，
∴x的最大值為$\frac{4}{3}$．
故答案為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)找到相似三角形，從而找到兩條折疊線段之間的關(guān)系確定最大值．