Question

等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，cosB=

3

5

，I為△ABC的內(nèi)心，則BI的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AE⊥BC，進(jìn)而得出AE過(guò)點(diǎn)I，求出BF的長(zhǎng)，即可利用勾股定理得出FI以及BI的長(zhǎng)．

解答：解：連接AO并延長(zhǎng)到BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AB于點(diǎn)F，
∵等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，
∴AE⊥BC，
∵cosB=

3

5

，AB=AC=10，
∴BE=6，AE=8，
∵AE⊥BC，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵I為△ABC的內(nèi)心，∠ABI=∠EBI，
∴AE過(guò)點(diǎn)I，
∵IF⊥AB，IE⊥BC，∠ABI=∠EBI，
∴IF=IE，
在Rt△BEI和Rt△BFI中，

BI=BI FI=EI

，
∴Rt△BEI≌Rt△BFI（HL），
∴BE=BF=6，
∴AF=10-6=4，
設(shè)IE=x，則FI=x，AI=8-x，
在Rt△AFI中，
AF²+FI²=AI²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
在Rt△AFI中，
BI=

62+32

=3

5

．
故答案為：3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出AE過(guò)點(diǎn)I是解題關(guān)鍵．