Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O．
（1）（圖1）若E為AC上一點，過A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求證：OE=OF；
（2）（圖2）若E為AC延長線上一點，AG⊥EB交EB的延長線于G，AG的延長線交DB的延長線于F，其他條件不變，OE=OF還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）如圖（1）
正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如圖（2）
正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AG⊥EB，∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以結(jié)論仍然成立．
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AOF≌△BOE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OE=OF；同理第二問也一樣．
點評：此題主要考查學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的理解及運用．