Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°．O為AB上的點(diǎn)．以點(diǎn)O為圓心作⊙O與BC相切于點(diǎn)D．若AD=2

3

，∠CAD=30°，則弧AD的長(zhǎng)為（　�。�

• A、

  2

  3

  π
• B、

  4

  3

  π
• C、

  5

  3

  π
• D、

  5

  6

  π

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：

分析：首先設(shè)⊙O與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接OD，DE，由⊙O與BC相切于點(diǎn)D，可得OD⊥BC，又由Rt△ABC中，∠C=90°，可得OD∥AC，然后由∠CAD=30°，求得∠DAE與∠AOD的度數(shù)，然后由AD=2

3

，在Rt△ADE中，利用余弦，求得AE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：設(shè)⊙O與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接OD，DE，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ODA=∠CAD=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120
∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，AE=

AD

cos∠OAD

=

2 3

3 2

=4，
∴⊙O的半徑r=2，
∴

AD

=

120π×2

180

=

4

3

π．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．